回帰分析は、従属変数と 1 つ以上の独立変数の間の関係を分析するために使用される重要な統計ツールです。場合によっては、独立変数は単なる数値または連続変数ではなく、カテゴリ変数です。ここでダミー変数の概念が登場します。
ダミー変数とは何ですか?
ダミー変数は指標変数とも呼ばれ、カテゴリデータを回帰モデルに組み込むために使用されます。カテゴリ データとは、性別、人種、教育レベルなどのカテゴリまたはグループを表す非数値データを指します。回帰分析のコンテキストでは、ダミー変数は、特定のカテゴリの有無を表すために 0 または 1 の値が割り当てられるバイナリ変数です。
例：
教育レベルが収入に与える影響を研究したいとします。学歴は高校、大学、大学院に分類できます。ダミー変数を使用してこれらのカテゴリを表すことができます。「大学」と「大学院」という 2 つのダミー変数を作成するとします。
「大学」ダミー変数は、個人が大学教育を受けている場合は値 1 をとり、そうでない場合は 0 をとります。同様に、「大学院」ダミー変数は、個人が大学院教育を受けている場合は値 1 をとり、そうでない場合は 0 をとります。
ダミー変数を使用する理由
回帰分析でカテゴリデータを扱う場合、誤解を招く結果を避けるためにダミー変数を使用することが重要です。ダミー変数を使用しない場合、カテゴリ データは回帰モデルで適切に表現されません。ダミー変数を使用すると、従属変数に対するカテゴリ変数の影響を正確に把握できます。
回帰分析でのダミー変数の使用
ダミー変数を回帰分析に統合するには、カテゴリ変数内のカテゴリごとに個別の変数を作成する必要があります。「n」個のカテゴリを持つカテゴリ変数の場合、通常、多重共線性、つまり独立変数が互いに高度に相関している状況を回避するために、「n-1」個のダミー変数が作成されます。
たとえば、3 つのカテゴリ (低、中、高など) を持つカテゴリ変数がある場合、2 つのダミー変数を作成します。1 つのダミー変数は「中」カテゴリを表し、もう 1 つは「高」カテゴリを表します。「低」カテゴリが参照カテゴリとなり、その効果が回帰モデルの切片項で取得されます。
ダミー変数を使用して回帰モデルを推定する場合、ダミー変数に関連付けられた各係数は、そのダミー変数によって表されるグループと参照グループ間の従属変数の差を表します。
ダミー変数トラップについて
ダミー変数を使用する場合は、ダミー変数のトラップに注意することが重要です。ダミー変数トラップは、2 つ以上のダミー変数が完全に相関している場合に発生し、多重共線性が生じて係数を正確に推定できなくなります。ダミー変数のトラップを回避するには、モデルから 1 つのダミー変数を常に除外する必要があります。この回避されたダミー変数は、解釈のための参照カテゴリになります。
相関分析と回帰分析
相関分析は、2 つの連続変数間の関係の強さと方向を調べるプロセスです。これは変数間の線形関連性の尺度であり、通常は相関係数「r」で表されます。一方、回帰分析は、1 つ以上の独立変数の値に基づいて従属変数の値を予測するために使用されます。
ダミー変数自体は相関分析では使用されませんが、回帰分析では、特にカテゴリデータを扱う場合に重要な役割を果たします。ダミー変数を組み込むことにより、回帰分析は従属変数に対するカテゴリ変数の影響を効果的にモデル化し、定量化できます。
ダミー変数と従属変数の間の関係を評価する場合、相関分析は関係の方向と強さを理解するための有用な準備ステップとなります。ただし、相関分析だけではカテゴリ変数と従属変数の間の複雑な相互作用を捉えることはできません。この場合、ダミー変数を使用した回帰分析が威力を発揮します。
ダミー変数の背後にある数学と統計
回帰分析でのダミー変数の使用には、行列代数、仮説検定、モデル解釈などのさまざまな数学的および統計的概念が含まれます。
行列代数:
ダミー変数を回帰モデルに統合する場合、回帰の行列表現が不可欠になります。ダミー変数は、多くの場合、計画行列の列として表されます。ダミー変数を使用した回帰を実装するには、これらの行列を操作および解釈する方法を理解することが重要です。
仮説検証:
ダミー変数を使用した回帰分析では、カテゴリ変数の重要性を評価する際に仮説検定が重要な役割を果たします。「t 検定」または「F 検定」を使用して、ダミー変数の係数に関連する帰無仮説を評価できます。
モデルの解釈:
ダミー変数の係数を解釈するには、それらを参照カテゴリと比較し、従属変数に対する影響を理解する必要があります。これには、統計的推論とモデル診断をしっかりと理解する必要があります。
結論
ダミー変数は、特にカテゴリデータを扱う場合、回帰分析の基本的なコンポーネントです。それらを回帰モデルに注意深く組み込むことにより、従属変数に対するカテゴリ変数の影響を包括的に理解することができます。ダミー変数、相関分析、数学的基礎の間の関係を理解することは、数学、統計、データ サイエンスの分野の実務者にとって非常に重要です。